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考研高數復習：微積分基本定理的證明解讀

該部分包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導定理的條件是變上限積分函數的被積函數在閉區(qū)間連續(xù)，結論可以形式地理解為變上限積分函數的導數為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數的自變量。注意該求導公式對閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導數要區(qū)別對待：對應開區(qū)間上每一點的導數是一類，而區(qū)間端點處的導數屬單側導數。花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數在開區(qū)間上任意點x處的導數。一點的導數仍用導數定義考慮。至于導數定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權利了。單側導數類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯系微分學與積分學的橋梁，它是微積分中較基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數中舉足輕重的作用。而多數考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個原函數，結論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數在區(qū)間端點處的函數值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。

考研數學分析怎么復習？

一輪復習我開始的比較早。數學是一門基礎性，其解題能力的提高，是一個長期積累的過程，因而復習時間就應適當提前，循序漸進。輪復習先從復習數學分析課本開始，盡量動手解答課后習題，不懂得話可以向同學請教。一定做到課后題例題每一道題都親自動手做過。一定做到了解數學分析的基本內容、重點、難點和特點。比如數列極限、函數極限只是計算內容相對比較簡單，輪復習就應該把它搞定，確保以后再遇到這類題目一定能、準確的作出。

第二輪復習是在九月份，這時，數學分析課本上的東西我們大致都通讀了一遍。記得我的數學分析老師曾經說過：讀一本書一般過程是先把一本書讀厚了，再把它讀薄了。第二階段就是把書讀薄的階段。

數學分析的推理過程需要精細的推導，一旦出錯就會影響后續(xù)的計算，因此需要學生耐心細致地進行思考和計算。另外，數學分析理論體系比較完整，需要對于各個定理和公式都有一定的掌握和運用能力。